Lord Rayleigh
Publie "The Theory of Sound". Il pose les bases mathématiques de l'acoustique moderne.
Physique des Ondes et des Vibrations : De l'équation de d'Alembert à l'Imagerie Médicale.
Le son n'est pas un objet qui se déplace, mais une perturbation mécanique qui voyage à travers un milieu matériel (gaz, liquide ou solide). Sans matière (dans le vide), il n'y a pas de son (contrairement à la lumière).
"Les particules du milieu ne voyagent pas avec l'onde. Elles oscillent autour d'une position d'équilibre, transmettent leur énergie à la voisine, et reviennent à leur place."
On peut imaginer le milieu comme une chaîne infinie de masses reliées par des ressorts. Si vous poussez la première masse, la compression se propage de proche en proche. C'est un transport d'énergie sans transport de matière.
Ce cours couple Acoustique et Thermique car elles utilisent des outils mathématiques similaires, mais elles décrivent deux réalités opposées.
C'est un phénomène de "lissage". L'information se dilue. Si vous chauffez un point d'une barre de fer, la chaleur s'étale lentement. Si vous arrêtez de chauffer, la température s'uniformise. C'est un phénomène irréversible.
Dérivée 1ère en temps (Lent)
C'est un phénomène de "transport". L'information voyage intacte (ou presque). Si vous criez, votre voix arrive à 340 m/s à l'autre bout. L'onde possède une "inertie" qui la fait avancer. C'est un phénomène réversible (en théorie).
Dérivée 2nde en temps (Rapide)
La manière dont la matière se déforme définit le type d'onde. C'est une distinction cruciale pour comprendre pourquoi le son se comporte différemment dans l'eau et dans l'acier.
Pour qu'une onde transverse existe, il faut que le milieu résiste au cisaillement (si je tire une particule vers le haut, elle doit tirer sa voisine vers le haut). Les fluides parfaits (eau, air) n'ont pas de cohésion transversale : les couches glissent les unes sur les autres. Une onde de cisaillement s'y amortit instantanément.
Une onde acoustique harmonique (sinusoïdale) possède une double identité. Elle se répète dans le temps, mais aussi dans l'espace.
On regarde une particule fixe vibrer.
Période (s) & Fréquence (Hz)
On prend une photo de l'onde à un instant $t$.
Longueur d'onde (m)
Relation fondamentale : Une onde à haute fréquence ($f \nearrow$) a une courte longueur d'onde ($\lambda \searrow$).
Ex: À 1 kHz dans l'air, $\lambda \approx 34$ cm. En échographie (5 MHz) dans l'eau, $\lambda \approx 0.3$ mm.
Passez votre souris sur les différentes zones pour visualiser le comportement de l'onde. Notez comment la période ($T$) diminue quand la fréquence ($f$) augmente.
Dans un milieu limité (surface libre, plaque), les réflexions multiples créent des modes guidés. Observez attentivement le mouvement des particules ci-dessous.
Mouvement : Elliptique Rétrograde.
Regardez une particule en surface : elle tourne à l'envers de la vague.
Mouvement : Cisaillement Horizontal.
Mouvement de "serpent" amorti en profondeur.
Mouvement : Flexion ($A_0$).
Toute l'épaisseur de la plaque ondule.
Dans la réalité, une impulsion sonore n'est jamais une fréquence unique, c'est un "paquet" d'ondes.
Vitesse des crêtes (vaguelettes)
Vitesse de l'enveloppe (Énergie)
Milieu Non-Dispersif (ex: Air, Eau) : $V_{\phi} = V_g$.
L'enveloppe et les vaguelettes avancent à la même vitesse. Le signal ne se déforme pas.
Conséquence : Dans un milieu dispersif (solides, guides d'onde), $V_{\phi} \neq V_g$. Les différentes fréquences voyagent à des vitesses différentes.
Résultat : Le signal "s'étale" dans le temps et perd de l'amplitude.
Imaginez un peloton de cyclistes vu d'hélicoptère.
LE PELOTON
C'est la vitesse à laquelle l'ensemble du groupe avance vers la ligne d'arrivée.
C'est la vitesse réelle de l'énergie (l'information).
LE CYCLISTE
C'est la vitesse d'un cycliste individuel à l'intérieur du groupe. Il peut rouler plus vite que le groupe (remonter) ou moins vite (se laisser glisser).
En résumé : Dans un milieu dispersif, les cyclistes (les ondes) traversent le peloton. Ils apparaissent à la queue, remontent le groupe, et disparaissent en tête.
Le cycliste va vite ($V_{\phi}$), mais le message (le groupe) avance doucement ($V_g$).
Avant d'écrire la moindre équation, nous devons définir notre "monde" acoustique. Nous supposons un Fluide Idéal défini par 4 piliers :
Le milieu est le même partout ($\rho_0$ constant). On ignore la structure atomique (l'échelle macroscopique $\gg$ distance inter-atomique).
Les propriétés physiques sont les mêmes dans toutes les directions. Le son se propage de la même façon vers le haut, le bas, la gauche...
Pas de viscosité. On néglige les frottements internes et les pertes thermiques (transformations adiabatiques). L'énergie se conserve localement.
"L'Acoustique Linéaire". La pression acoustique $p$ est négligeable devant la pression atmosphérique $P_0$.
Conséquence math : On néglige les termes d'ordre 2 (ex: $v^2 \approx 0$).
Avant de démarrer la démonstration, définissons précisément les termes utilisés pour une tranche de fluide au repos située en $x$.
DÉPLACEMENT (m)
Position par rapport à l'équilibre.
MASSE VOLUMIQUE (kg/m³)
Constante (milieu homogène).
DILATATION CUBIQUE
Variation relative de volume ($dV/V$).
COMPRESSIBILITÉ ($Pa^{-1}$)
Coefficient adiabatique du milieu.
On considère une tranche de fluide élémentaire d'épaisseur $dx$ et de section $S$. Masse : $dm = \rho_0 S dx$.
La force nette est la différence de pression entre $x$ et $x+dx$. On effectue un développement limité au 1er ordre :
Le volume varie car le déplacement $u$ n'est pas uniforme.
• $V_0 = S \cdot dx$
• $V = S \cdot (dx + du) = S(dx + \frac{\partial u}{\partial x}dx)$
On utilise le coefficient de compressibilité adiabatique $\chi_s$ (définition thermodynamique) :
On intègre pour les petites variations ($dV/V = \theta$) :
On dérive (3) par rapport à $x$ et on injecte dans (1) :
$\frac{\partial p}{\partial x} = - \frac{1}{\chi_s} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
Ce que nous avons démontré pour le déplacement $u$ en 1D est en réalité une loi universelle de l'acoustique linéaire.
La Pression $p$, la Vitesse $v$, et la Masse Volumique $\rho$ obéissent toutes à la même équation.
Remplacez (...) par $p, v, \rho$ ou $u$.
Dans l'espace, la dérivée seconde $\partial^2/\partial x^2$ est remplacée par l'opérateur Laplacien $\Delta$.
$\Delta = \partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2$
D'Alembert a montré que toute solution de cette équation s'écrit comme la somme de deux ondes voyageant en sens opposé.
Terme en $(t - x/c)$. Le profil avance vers les x positifs.
Terme en $(t + x/c)$. Le profil recule (ex: réflexion sur un mur).
En physique, manipuler des sinus et cosinus est pénible (formules triguinometriques). On préfère utiliser l'exponentielle complexe pour transformer les équations différentielles en équations algébriques simples.
On note la solution sous forme :
1. On fait tous les calculs avec les complexes ($e^{i\dots}$).
2. À la toute fin, pour avoir le sens physique, on ne garde que la Partie Réelle.
En réinjectant cette solution dans l'équation d'onde, on trouve le lien fondamental entre temps et espace :
La vitesse du son n'est pas une constante universelle. C'est une compétition entre deux propriétés du milieu :
PLUS C'EST RAIDE, PLUS C'EST VITE. PLUS C'EST LOURD, PLUS C'EST LENT.
Le débat historique portait sur la nature thermodynamique de la transformation.
Hypothèse : ISOTHERME ($T = cte$)
Il pensait que la chaleur avait le temps de s'équilibrer entre les zones comprimées et dilatées.
Compressibilité isotherme :
❌ FAUX (-20%)
Hypothèse : ADIABATIQUE ($Q = 0$)
Le son va trop vite. La chaleur reste "piégée" dans les compressions, ce qui augmente la raideur du gaz.
Compressibilité adiabatique :
✅ CORRECT
En utilisant la loi des Gaz Parfaits ($\frac{P_0}{\rho_0} = \frac{RT}{M}$), on obtient la forme usuelle qui montre que $c$ ne dépend que de la température :
L'eau est 800x plus lourde que l'air ($\rho \nearrow$), ce qui devrait ralentir le son.
MAIS, elle est incompressible ($\chi \searrow \searrow$).
La raideur l'emporte sur l'inertie.
On remplace la compressibilité par l'inverse du Module d'Young ($E$). Les solides transmettent l'énergie très efficacement.
Onde de compression (Longitudinale).
Voyez l'influence de la température sur la célérité.
Dans les exercices, on aime l'Onde Plane (qui avance comme un mur infini). Dans la réalité, les sources (haut-parleur, piston) ont une taille finie. Elles créent des ondes complexes.
"Toute surface émettrice peut être considérée comme une infinité de petites sources ponctuelles émettant des ondes sphériques."
Si on regarde le champ de pression devant un émetteur (ex: Sonde échographique), on distingue deux zones (voir Slide 5).
Zone de turbulences et d'interférences. L'amplitude varie énormément. On ne peut pas y faire de mesures fiables.
Limite : $Y \approx a^2 / \lambda$
L'onde s'organise et devient sphérique. L'énergie décroît régulièrement en $1/r$. C'est ici qu'on utilise le sonar/écho.
Lorsque seules des ondes longitudinales sont considérées, on peut simplifier l'étude en remplaçant le vecteur vitesse $\vec{v}$ par un scalaire $\Phi$.
Reprenons le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) en 3D pour un fluide parfait (sans forces externes) :
On introduit le potentiel tel que $\vec{v} = - \vec{\nabla} \Phi$. L'équation devient :
En intégrant spatialement (à une constante près négligeable), on obtient la relation fondamentale pression-potentiel :
Note : En cas d'onde transverse (solides), il faudrait introduire un potentiel vectoriel via un rotationnel ($\vec{v} = \vec{\nabla} \wedge \vec{\Psi}$), mais c'est hors programme ici.
Au lieu de chercher $p$ ou $\vec{v}$ séparément, la méthode universelle en acoustique est la suivante :
On résout d'abord l'équation scalaire :
Tout découle de $\Phi$ par simple dérivation :
L'hypothèse de l'onde plane (milieu infini) est souvent fausse en pratique. Pourquoi ?
La longueur d'onde est de l'ordre du mètre ! Les sources réelles (HP, cordes vocales) sont rarement beaucoup plus grandes que $\lambda$.
"Les ondes émises ne sont pas planes."
Conséquence (Principe de Huygens / Intégrale de Rayleigh) :
Toute source quelconque est vue comme une superposition de sources ponctuelles émettant des ondes sphériques. D'où l'importance de la solution harmonique sphérique :
Notez le terme en $1/r$ : l'amplitude décroît avec la distance (dilution de l'énergie).
Comme un ressort qui oscille, l'onde acoustique transporte deux formes d'énergie qui s'échangent en permanence. Pour un volume unitaire, on parle de densité d'énergie :
Liée à la Vitesse des particules.
Liée à la Compression (Pression).
Pour une onde plane progressive, on montre que $e_c = e_p$. L'énergie est équi-répartie.
L'intensité instantanée est le flux de puissance : $\vec{I}(t) = p(t) \cdot \vec{v}(t)$.
Problème : Pour un signal sinusoïdal, la moyenne est nulle ! (Ça oscille autour de 0).
Solution : On utilise la valeur efficace (RMS - Root Mean Square).
C'est cette valeur que mesurent les sonomètres.
Signal $p(t)$ (Bleu) vs $p_{eff}$ (Rouge)
L'oreille gère une dynamique énorme ($10^6$ en pression, $10^{12}$ en intensité). On utilise donc une échelle log.
La pression acoustique est une fluctuation autour de la pression atmosphérique $P_{atm}$ ($10^5$ Pa).
Comme on ne peut pas descendre en dessous du vide (pression nulle), l'amplitude maximale théorique d'une onde sinusoïdale dans l'air est $P_{max} = P_{atm}$.
Au-delà, l'air ne se comporte plus linéairement (ondes de choc).
Les décibels ne s'additionnent pas directement ! $50 \text{ dB} + 50 \text{ dB} \neq 100 \text{ dB}$.
Il faut repasser par les puissances (échelle linéaire), additionner, puis revenir aux log.
2 enceintes identiques
$10 \log(2) \approx 3$
10 violons au lieu d'1
$10 \log(10) = 10$
En pratique, les milieux ne sont jamais infinis. L'onde rencontre des interfaces. Pour simplifier l'étude mathématique (comme vu en Slide 55), on se place dans un cadre précis :
On suppose des sources étendues et une observation loin de la source (diffraction négligée).
L'impédance $Z = \rho c$ est réelle (pas de partie imaginaire, pas d'absorption). Le vecteur d'onde $k$ est réel.
Au niveau de la séparation (en $x=0$), la matière ne se déchire pas et il n'y a pas de vide qui se crée. Cela impose la continuité de deux grandeurs :
Ne surtout pas confondre :
• $c$ (Célérité) : Vitesse de l'onde (~340 m/s). Dépend du milieu.
• $v$ (Vitesse Particulaire) : Vitesse de vibration des molécules (~mm/s). Dépend de l'amplitude.
La continuité s'applique sur $v$, pas sur $c$ !
Considérons une onde incidente arrivant avec un angle $\theta_i$. Elle génère une réfléchie ($\theta_r$) et une transmise ($\theta_t$).
Écrivons les champs de pression à l'interface ($x=0$, et quel que soit $y$) :
Pour que cette égalité soit vraie pour tout $y$ et tout $t$, il faut impérativement que les phases soient identiques :
Sachant que $k = \omega / c$ et que la fréquence $\omega$ est conservée :
Implique $\theta_i = \theta_r$ (Réflexion) et $\sin \theta_t = \frac{c_2}{c_1} \sin \theta_i$ (Réfraction).
Relation des Amplitudes (Slide 59) :
En simplifiant les exponentielles (qui sont égales), l'équation de continuité des pressions donne simplement :
C'est le cas général le plus riche. Un solide supporte deux types d'ondes : Longitudinales ($L$) et Transverses ($T$).
Une onde incidente pure ($L$) dans l'eau va générer deux ondes réfractées dans le solide.
Célérité rapide ($C_{2L}$)
Célérité plus lente ($C_{2T} < C_{2L}$)
Comme la célérité dans le solide est généralement plus grande que dans le liquide ($C_2 > C_1$), l'angle transmis $\theta_t$ atteint $90^\circ$ ($\pi/2$) avant $\theta_i$. L'onde devient "rasante" puis disparaît (évanescente).
Comme $C_{2L} > C_{2T}$, l'onde Longitudinale disparaît en premier !
1. Premier Angle Critique ($\theta_{icL}$)
$\theta > \theta_{icL}$ : L'onde L transmise disparaît.
2. Second Angle Critique ($\theta_{icT}$)
$\theta > \theta_{icT}$ : L'onde T transmise disparaît aussi. Réflexion totale.
Juste après ces angles critiques, des ondes de surface complexes (type Rayleigh) sont générées à l'interface (combinaison des ondes évanescentes).
Du modèle idéal à la réalité : Frottements, Viscosité et Absorption.
Jusqu'ici, nous avons supposé que l'énergie se conservait indéfiniment. Dans la réalité (et surtout dans le corps humain pour l'imagerie médicale), ce n'est pas le cas. Le milieu résiste et absorbe de l'énergie.
L'énergie de l'onde diminue à cause de deux phénomènes majeurs :
La viscosité traduit les frottements entre les couches de fluide qui glissent les unes sur les autres (Écoulement de Couette).
Force $F$ appliquée sur une surface $S$.
Unité : Pascal (Pa)
Gradient de vitesse ($V_{max}$ sur hauteur $H$).
Unité : $s^{-1}$
La viscosité dynamique $\eta$ est le coefficient de proportionnalité qui relie la cause ($\dot{\gamma}$) à l'effet ($\tau$) :
Unité de $\eta$ : Pa.s (Pascal seconde)
L'ajout du terme de viscosité dans l'équation d'Euler (Navier-Stokes) entraîne une perte d'amplitude progressive de l'onde.
$\alpha$ : Coefficient d'atténuation acoustique
Unité : $m^{-1}$ ou $Neper.m^{-1}$
Pour une onde transverse se propageant à la célérité $c_T$, on définit un vecteur d'onde complexe qui inclut l'atténuation :
On introduit alors aussi une célérité complexe définie par la relation :
Attention à ne pas confondre $c_T$ (célérité réelle de phase) et $c_T^*$ (célérité complexe incluant les pertes).
Pour un fluide Newtonien (viscosité constante), l'atténuation $\alpha$ dépend du carré de la fréquence :
Dans les solides mous ou visqueux, on définit un module de cisaillement complexe $G^*$ qui combine élasticité (réel) et pertes (imaginaire).
Partie Élastique (Ressort)
Partie Visqueuse (Amortisseur)
Si l'amortissement est faible, on peut calculer la viscosité $\eta$ à partir de l'atténuation mesurée $\alpha$ et la vitesse $c$ :
Valable pour ondes transverses ($c_T$, $\alpha_T$) et longitudinales ($c_L$, $\alpha_L$).
Tout part de la friction interne (Viscosité). Cette perte d'énergie impose une diminution de l'amplitude (Atténuation).
Pour modéliser cette perte, les mathématiques nous obligent à utiliser des grandeurs complexes.
Cela se propage jusqu'à l'impédance acoustique.
Conséquence physique concrète : Contrairement à un milieu parfait, une onde se réfléchissant sur un milieu visqueux subira un décalage temporel (Déphasage) dû à cette partie imaginaire.
De la Piézoélectricité à l'Imagerie Médicale et la Thérapie.
Pour faire de l'échographie, il faut un convertisseur Électro-Mécanique. On utilise des matériaux piézoélectriques (découverts par Pierre & Jacques Curie, 1880).
Tension Électrique $\to$ Déformation Mécanique
On envoie une impulsion électrique, le cristal vibre et crée l'onde.
Pression Mécanique $\to$ Tension Électrique
L'écho revient, comprime le cristal qui génère un courant.
Autres méthodes (Slide 76) : Laser (optique), EMAT (magnétique), cMUT (condensateur).
C'est la base du SONAR (Langevin, 1915) et de l'échographie (Wild & Reid, 1950). On mesure deux grandeurs fondamentales sur le signal retour (Slide 79) :
Une sonde moderne n'est pas un mono-élément. C'est une barrette de centaines de petits cristaux. En jouant sur les retards d'excitation entre les éléments, on peut manipuler le faisceau sans bouger la sonde.
Retard linéaire.
Le faisceau part de biais. Permet de scanner une zone large (secteur).
Retard parabolique.
L'onde converge en un point précis pour une résolution maximale.
Si la cible bouge (globules rouges), la fréquence de l'écho change.
High Intensity Focused Ultrasound.
On ne cherche plus à voir, mais à brûler. En focalisant une forte puissance, on détruit des tumeurs ou on coagule des tissus sans chirurgie.
Problème majeur : La localisation précise (guidage par IRM ou écho).
Technique de rupture. En échographie standard, la vitesse longitudinale ($V_L$) varie peu entre un tissu sain et une tumeur.
L'idée : On génère une onde de cisaillement (Onde T). Sa vitesse ($V_T$) dépend directement de la rigidité (dureté) du tissu.
Une tumeur est plus dure qu'un tissu sain $\to$ $V_T$ augmente localement.
Les ultrasons sondent la matière opaque là où la lumière s'arrête.
Le bois est anisotrope (la vitesse dépend du sens des fibres).
Exemple : Analyse de la dégradation du navire Vasa (1626) sans prélèvement destructif.
Suivi de la maturation et de la cristallisation. La vitesse et l'atténuation changent drastiquement selon la teneur en sucre et la viscosité.
Comme vu au Chap. I, $c \propto \sqrt{T}$.
Mesurer la vitesse permet de connaître la température à cœur d'un organe (ex: ablation cardiaque) de façon non-invasive.
Démonstrations mathématiques et calculs basés sur les supports de cours.
Montrer que les fonctions $u(x,t) = A e^{i(\omega t - kx)}$ et $u(x,t) = B e^{i(\omega t + kx)}$ sont solutions de l'équation de propagation : $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0 $$ Condition : On pose $k = \omega / c$.
Pour la solution progressive $u = A e^{i(\omega t - kx)}$ :
En remplaçant dans l'équation d'onde :
L'équation est vérifiée si et seulement si $k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}$, soit $k = \frac{\omega}{c}$.
Note : Le raisonnement est identique pour le terme en $+kx$ (onde régressive).
Sachant que l'on a obtenu une équation de propagation pour le déplacement $u(x,t)$, montrer que la pression $p(x,t)$ vérifie la même équation en utilisant la relation : $$ p = -\frac{1}{\chi} \frac{\partial u}{\partial x} $$
Méthode 1 (Algébrique) :
On remplace $p$ par sa définition dans l'équation d'onde. Comme $\chi$ est une constante, les opérateurs de dérivation s'appliquent directement sur $\partial u / \partial x$.
Méthode 2 (Notation complexe) :
Si $u = A e^{i(\omega t - kx)}$, alors :
En utilisant la forme $i = e^{i\pi/2}$ :
Conclusion : $p$ et $u$ sont proportionnels et liés par une relation linéaire. Puisque $u$ suit l'équation de d'Alembert, $p$ la suit également. On remarque un déphasage de $\pi/2$ (quadrature).
On suppose le passage de l'onde adiabatique réversible. La vitesse du son dans un gaz parfait est $c = (\gamma RT / M)^{0.5}$.
1. Montrer que pour l'air ($\gamma=1.4$, $M=29$ g/mol), $c \approx 20 \sqrt{T}$.
2. Calculer $c$ pour $T = 300$ K.
1. Simplification de la formule :
2. Application numérique à 300K :
Note : À 20°C (293K), on retrouve la valeur usuelle de 340 m/s.
"C'est quoi un gaz parfait ? Que veut dire adiabatique ? Réversible ? Est-ce réaliste ?"
En réalité, les sources émettent des ondes sphériques. Le Laplacien en coordonnées sphériques (cas radial pur) s'écrit : $\Delta = \frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \cdot)}{\partial r^2}$.
1. Montrer que $p(r,t) = \frac{f(t - r/c)}{r}$ est solution de l'équation de d'Alembert.
2. Quelle est la conséquence physique du terme en $1/r$ sur l'amplitude et l'énergie ?
On injecte la forme proposée dans l'équation : $\Delta p - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0$.
Terme Spatial (Laplacien)
On pose $u = t - r/c$, donc $\frac{\partial f}{\partial r} = -\frac{1}{c} f'$.
Terme Temporel
Ici $r$ est constant par rapport au temps.
Les deux termes sont identiques : l'équation est vérifiée.
Contrairement à l'onde plane (amplitude constante), l'onde sphérique voit son amplitude décroître en $1/r$.
L'énergie est proportionnelle au carré de la pression ($E \propto p^2$).
Donc l'énergie décroît en $1/r^2$.
C'est logique : l'énergie se répartit sur la surface d'une sphère ($4\pi r^2$) qui grandit. Même sans frottement, le son s'affaiblit avec la distance.
On considère une onde plane harmonique.
1. Montrer que pour une onde se propageant vers les $x$ croissants : $p = \rho_0 c \cdot v$.
2. Montrer que pour une onde se propageant vers les $x$ décroissants : $p = -\rho_0 c \cdot v$.
3. En déduire que l'intensité acoustique s'écrit $I = p^2 / \rho_0 c$.
On part du potentiel harmonique progressif : $\Phi = A e^{i(\omega t - kx)}$.
Calcul de la Vitesse
Calcul de la Pression
On fait le rapport $p/v$ :
Or $c = \omega / k$, donc $p = \rho_0 c \cdot v$
Le potentiel est $\Phi = B e^{i(\omega t + kx)}$.
Donc $\frac{p}{v} = -\rho_0 \frac{\omega}{k} \implies$ $p = -\rho_0 c \cdot v$
L'intensité est le produit $I = p \cdot v$.
En remplaçant $v$ par $p / \rho_0 c$ (en valeur absolue pour la norme) :
On considère une onde sphérique divergente harmonique définie par le potentiel $\Phi(r,t) = \frac{A}{r} e^{i(\omega t - kr)}$.
1. Exprimer la Pression $p$ et la Vitesse $v$.
2. En déduire l'impédance acoustique spécifique $Z(r) = p/v$.
3. Que se passe-t-il "très loin" de la source ($r \to \infty$) ?
On rappelle les relations : $p = \rho_0 \frac{\partial \Phi}{\partial t}$ et $v = - \frac{\partial \Phi}{\partial r}$.
Dérivée par rapport à $t$ :
On reconnaît $\Phi = \frac{A}{r} e^{i(\omega t - kr)}$, donc :
Dérivée par rapport à $r$ (Produit $f \cdot g$) :
On factorise par $\Phi = \frac{A}{r} e^{i(\omega t - kr)}$ :
Comme $v = - \frac{\partial \Phi}{\partial r}$, les signes s'inversent :
On fait le rapport $Z = p / v$ :
Pour simplifier, on multiplie numérateur et dénominateur par $r$ :
(Rappel : on a utilisé $\omega = c \cdot k$)
3. Limite à l'infini (Champ Lointain)Si on s'éloigne de la source ($r \to \infty$), le terme $ikr$ devient prédominant devant 1 ($ikr \gg 1$).
Conclusion physique : Près de la source, l'impédance est complexe (déphasage Pression/Vitesse). Loin de la source, la courbure du front d'onde devient négligeable : l'onde sphérique se comporte localement comme une onde plane ($Z \to \rho c$).
On considère une interface plane en $x=0$ séparant deux milieux caractérisés par leurs impédances $Z_1$ et $Z_2$.
Objectif : Retrouver les coefficients de réflexion/transmission en Vitesse ($r_v, t_v$) et en Pression ($r_p, t_p$), puis vérifier la conservation de l'énergie.
À l'interface ($x=0$), il y a continuité de la Pression et de la Vitesse :
Lien Impédance/Vitesse selon le sens de propagation (voir notes) :
On remplace les $p$ par des $v$ dans (1) :
On utilise (2) $v_t = v_i + v_r$ :
On regroupe les termes :
De même pour la transmission :
On remplace les $v$ par des $p$ dans (2) :
On utilise (1) $p_t = p_i + p_r$ :
On regroupe les termes :
De même pour la transmission :
On définit les coefficients de réflexion ($R$) et transmission ($T$) en énergie.
Vérification de la conservation de l'énergie ($R+T=1$) :
CQFD.
On considère une onde transverse avec atténuation.
On définit le vecteur d'onde complexe $k^*$ de deux manières :
1. Par les paramètres physiques : $k^* = \frac{\omega}{C_T} - i\alpha$ (où $C_T$ est la célérité de phase réelle).
2. Par la définition de la célérité complexe : $k^* = \frac{\omega}{C_T^*}$.
Montrer que la partie réelle et imaginaire de $C_T^*$ s'écrivent :
$$ C_T^* = \frac{C_T \omega^2}{C_T^2 \alpha^2 + \omega^2} + i \frac{C_T^2 \omega \alpha}{C_T^2 \alpha^2 + \omega^2} $$
On égale les deux définitions de $k^*$ :
On divise par $\omega$ :
On met au même dénominateur le terme de droite :
On inverse l'expression :
Pour supprimer le $i$ au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué $(\omega + i \alpha C_T)$ :
Dénominateur : Identité remarquable $(A-iB)(A+iB) = A^2 + B^2$.
Numérateur : On développe.
On sépare la fraction en deux parties :
On remarque que $Re(C_T^*) \neq C_T$. La célérité réelle est modifiée par l'atténuation.
Toutefois, si l'atténuation est très faible ($\alpha \to 0$), alors $Re(C_T^*) \approx C_T$.
Dans un solide viscoélastique, on définit le module de cisaillement complexe par la relation $G^* = \rho (C_T^*)^2$.
On pose $G^* = G' + iG''$, où :
On part de l'égalité des vecteurs d'onde :
On inverse pour isoler la célérité complexe :
On applique la définition $G^* = \rho (C_T^*)^2$ :
On développe le carré au dénominateur :
Donc :
Pour éliminer la partie imaginaire du dénominateur, on multiplie par le conjugué $D^* = (1 - X^2) + 2iX$ :
Le dénominateur devient : $(1-X^2)^2 + (2X)^2 = 1 - 2X^2 + X^4 + 4X^2 = 1 + 2X^2 + X^4 = (1+X^2)^2$.
On obtient l'expression finale séparée :